LAS MATEMÁTICAS QUE AYUDAN AL TELESCOPIO ESPACIAL JAMES WEBB A PERMANECER ESTABLE EN EL ESPACIO

Hace unos 250 años, los matemáticos escribieron las primeras ecuaciones que describen dónde reside ahora el Telescopio Espacial James Webb, lanzado el día de Navidad de 2021. El Webb permanecerá durante unos 20 años en su lugar de estacionamiento cósmico, examinando las galaxias del universo. Y no tenemos que preocuparnos de que se aleje: su nuevo hogar es un punto gravitacionalmente equilibrado en relación con la Tierra y el sol, llamado punto de Lagrange.

Webb experimenta la atracción de la gravedad tanto de nuestro propio planeta como del sol en el punto 2 de Lagrange (L2), uno de los cinco puntos en el sistema sol-Tierra. La fuerza centrípeta, que hace que los objetos se muevan en un círculo alrededor de un objeto con gravedad, también acelera el telescopio en órbita con ese sistema, lo que hace que gire y sea atraído hacia L2. A los exploradores del espacio les encantan los puntos de Lagrange porque, cuando se ven desde la Tierra, los puntos parecen permanecer en ubicaciones fijas, lo que los hace convenientes para comunicarse con las naves espaciales.

En el siglo XVIII, los matemáticos identificaron los cinco puntos de Lagrange que gobiernan el movimiento de satélites como Webb; era un ejercicio para comprender los movimientos de un sistema de dos cuerpos como la Tierra y la Luna. Pero las matemáticas lagrangianas deben explicar los movimientos de tres cuerpos en función de sus atracciones gravitatorias, posiciones iniciales y velocidades.

Hay un número infinito de soluciones para este problema de los tres cuerpos, dice el astrofísico Neil Cornish, que estudia ondas gravitacionales en la Universidad Estatal de Montana en Bozeman, Montana, y escribió una explicación de los puntos de Lagrange para la NASA.

Tienes que buscar la fuerza total ejercida sobre el cuerpo de menor masa utilizando la segunda ley de movimiento de Newton, que establece que la fuerza que actúa sobre un objeto es igual a la masa de un objeto multiplicada por su aceleración. Puede sentir esto cuando empuja un carrito de compras vacío y uno lleno; el carrito lleno se moverá más lentamente y se necesita más fuerza para empujarlo.

Pero no puedes ignorar los movimientos de los tres cuerpos. La Tierra gira sobre su eje, lo que genera el efecto Coriolis, que hace que los objetos se muevan en líneas curvas. (Es la razón por la que los huracanes y los proyectiles trazan una trayectoria curva). La fuerza centrípeta también hace que un objeto que gira alrededor de una masa central sea atraído hacia el centro de esa masa.

Cornish compara los puntos de Lagrange con una canica en una superficie montañosa. “Si coloco una canica en la cima de una colina... las fuerzas se equilibran, pero si golpeo esa canica un poco, se caerá rodando de la colina”, dice. “Así que lo llamamos un punto 'inestable'. Mientras que, si estaba justo en el fondo del valle, las fuerzas se equilibran. Y si tuviera que golpearlo, en realidad simplemente oscilaría de un lado a otro en el valle. Así que lo llamamos un equilibrio "estable".

Para encontrar estos puntos de estabilidad, las ecuaciones tienen que equilibrar todas las fuerzas. Para hacerlo, debes resolver una ecuación polinomial. (Los polinomios te ayudan a encontrar todos los valores de una variable que hacen que una ecuación sea igual a cero). Puedes realizar muchas operaciones matemáticas para encontrar los puntos de Lagrange, pero eso requiere resolver una complicada ecuación polinomial de orden 12 o 15. Desafortunadamente, es desalentador resolver polinomios de alto orden, dice Cornish. Por el contrario, un polinomio de quinto orden se ve así y se puede resolver:

“Así que uso la intuición física para que me guíe hacia dónde podrían estar los puntos, porque las matemáticas por sí solas pueden volverse realmente complicadas”, dice Cornish. Al final, solo tuvo que resolver tres ecuaciones de quinto orden y una ecuación de segundo orden.

Cornish consideró la simetría a lo largo de la línea formada por dos puntos, con el sol y la Tierra a cada lado. Este razonamiento elimina cualquier punto de Lagrange fuera de este plano de la eclíptica (el plano imaginario que contiene la órbita de la Tierra alrededor del sol). Tres puntos de Lagrange son inestables y se encuentran a lo largo de esa línea (L1, L2 y L3), y dos son estables (L4 y L5) y simétricos. , por encima y por debajo de esa línea como puntos de un triángulo equilátero.

“Pude eliminar toda una clase de soluciones con solo pensarlo un poco, en lugar de sumergirme y usar la fuerza bruta”, dice Cornish. Agregamos cálculo a la mezcla para describir la estabilidad de cada punto, lo cual es crucial para enviar misiones espaciales a los puntos de Lagrange. El cálculo le da una sacudida al modelo para ver si las fuerzas mantendrán un objeto en su lugar o lo dejarán alejarse con el tiempo.

Si el punto de Lagrange no es completamente estable, como el de Webb, la nave espacial necesita una corrección de rumbo regular con un pequeño consumo de combustible para empujarla de regreso al centro del punto. En unos 20 años, el combustible de Webb se agotará y se alejará de L2. A partir de ahí, Cornish cree que saldrá de nuestro sistema solar y se convertirá en un viajero interestelar.

¿Quieres resolver los puntos de Lagrange tú mismo? Un estudiante universitario que ha tomado una clase de mecánica avanzada y álgebra vectorial tiene todas las herramientas que necesita para encontrar esas soluciones.

VISUALIZACION DE PUNTOS DE LAGRANGE

Pensemos en los puntos de Lagrange en términos más simples. Imagine una bola de bolos (el sol) y una pelota de béisbol (la Tierra) sentadas en un plano horizontal, y cada una tiene su propia atracción gravitacional. Debido a que es mucho más pesada, la bola de boliche tiene un tirón general mayor que la pelota de béisbol. A continuación, lance una canica (un satélite) entre los dos. Si está perfectamente equilibrado entre las dos depresiones, es similar a estar en un "punto de silla de montar" sentado entre dos pozos de gravedad de objetos masivos en el avión. Pero si empujas demasiado la canica en cualquier dirección, sufrirá la atracción del objeto más grande.